Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C為ρ=4cosθ+2sinθ．曲線C上的任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（x，y），求x-y的取值范圍．

Answer 1

分析 曲線C為ρ=4cosθ+2sinθ，即ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：（x-2）²+（y-1）²=5．令x=2+$\sqrt{5}$cosα，y=1+$\sqrt{5}$sinα．化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：曲線C為ρ=4cosθ+2sinθ，即ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x+2y，配方為：（x-2）²+（y-1）²=5．
令x=2+$\sqrt{5}$cosα，y=1+$\sqrt{5}$sinα．
則x-y=2+$\sqrt{5}$cosα-（1+$\sqrt{5}$sinα）=1+$\sqrt{5}$（cosα-sinα）=1+$\sqrt{10}$$sin（\frac{π}{4}-α）$∈$[1-\sqrt{10}，1+\sqrt{10}]$．
∴x-y的取值范圍為$[1-\sqrt{10}，1+\sqrt{10}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的極坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．