Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長(zhǎng)為a正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中點(diǎn)，AC與BD交于O點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面PCD；
（2）求點(diǎn)C到平面BED的距離．

Answer 1

分析 （1）先由已知得：PD⊥面ABCD推得PD⊥BC，再結(jié)合ABCD是正方形對(duì)應(yīng)的BC⊥CD即可證：BC⊥面PCD；
（2）運(yùn)用等體積法，即可求出點(diǎn)C到平面BED的距離．

解答 （1）證明：由已知得：PD⊥面ABCD
∴PD⊥BC
∵ABCD是正方形
∴BC⊥CD
又PD∩CD=D
∴BC⊥面PCD；
（2）解：等體積法，設(shè)點(diǎn)C到平面BED的距離為h．
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，BD=$\sqrt{2}$a，BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，∴∠BED=90°∴S_△BDE=$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}$，
∵S_△EDC=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
由等體積法，可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{a}{2}=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
∴點(diǎn)C到平面BED的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的證明，考查等體積法求點(diǎn)C到平面BED的距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．