如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)M，N分別為PB，BC的中點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O．
（1）求證：MN⊥BD；
（2）若PA=1，求二面角M-AC-N的大�。�

【答案】分析：（1）以AN，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)條件得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩直線MN與BD的方向向量，利用內(nèi)積為0證明兩線垂直；
（2）PA=1，利用線面垂直的條件求出兩個(gè)平面的法向量，再由公式求出兩平面夾角的余弦值，再由值求角．
解答：（1）證明：∵N是BC的中點(diǎn)，故AN⊥BC，AN⊥AD，以AN，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=a
則
∴…（1分）
，，即MN⊥AC
（2）解：平面NAC的法向量為n1=（0，0，1），設(shè)平面MAC的法向量為n2=（x，y，z）
∵PA=a=1，
∴，，而
∴由得
∴平面MAC的法向量可取n2=（-1，，）  
設(shè)二面角M-AC-N的大小為θ，則，
∴θ=30
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量求二面角，及用空間向量證明線線垂直，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把難度比較大的二面角的求法，線面角的求法等問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)字的運(yùn)算．大大降低了解題的難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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