Question

2．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f′（x）＞f（x），則不等式f（2x-3）≥e^2x-4f（1）的解集為{x|x≥2}．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)數(shù)結(jié)合題意可得F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$單調(diào)遞增，原不等式等價(jià)于F（2x-3）≥F（1），即2x-3≥1，解之可得．

解答 解：由題意構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）-f（x）＞0，
∴F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$單調(diào)遞增，
又不等式f（2x-3）≥e^2x-4f（1）等價(jià)于$\frac{f（2x-3）}{{e}^{2x-3}}$≥$\frac{f（1）}{e}$，
即F（2x-3）≥F（1），∴2x-3≥1
解得不等式的解集為{x|x≥2}
故答案為：{x|x≥2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，涉及不等式的解法和函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)并求得單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．