Question

7．設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點恰為圓C₂：（x$-\sqrt{3}$）²+y²=7的圓心．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C₁，C₂都只有一個公共點，記直線l與圓C₂的公共點為A，求A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過圓C₂：（x$-\sqrt{3}$）²+y²=7可知a²-b²=3，利用$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$、進而計算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)A（$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$cosα，$\sqrt{7}$sinα），直線l的方程為y-$\sqrt{7}$sinα=-$\frac{1}{tanα}$（x-$\sqrt{3}$-$\sqrt{7}$cosα），聯(lián)立直線l與曲線C₁方程、利用根的判別式△=0，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C₁的右焦點恰為圓C₂：（x$-\sqrt{3}$）²+y²=7的圓心，
∴a²-b²=3，
又∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a²=4，b²=1，
∴橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）依題意，設(shè)A（$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$cosα，$\sqrt{7}$sinα），則直線l的方程為：y-$\sqrt{7}$sinα=-$\frac{1}{tanα}$（x-$\sqrt{3}$-$\sqrt{7}$cosα），
聯(lián)立直線l與曲線C₁方程，整理可知：（1+3cos²α）•x²-8（$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$cosα）cosα•x+4$（6+4co{s}^{2}α+2\sqrt{21}cosα）$=0，
∵直線l與曲線C₂只有一個公共點，
∴△=0，化簡得：（1-cos²α）（3+$\sqrt{21}$cosα）=0，
解得：cosα=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$或cosα=±1（舍），
∴sinα=±$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=±$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴A（0，2）或A（0，-2）．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．