Question

15．（Ⅰ）若關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y，不等式$\sqrt{2x}$+$\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式，結(jié)合關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）利用柯西不等式，結(jié)合對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y，不等式$\sqrt{2x}$+$\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵||x+1|-|x-2||≤|（x+1）-（x-2）|=3，
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，
∵關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集
∴|a-3|≥3，
∴a≥6或a≤0；
（Ⅱ）由柯西不等式可得（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$）（8x+6y）≥（$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}$）²，
∴$\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}{\sqrt{8x+6y}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y，不等式$\sqrt{2x}$+$\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，
∴k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查柯西不等式的運(yùn)用，考查恒成立問題，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．