Question

15．已知F是雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的左焦點(diǎn)，A（1，4），P是雙曲線右支上的動點(diǎn)．求：
（1）|PF|+|PA|的最小值；
（2）|PF|-|PA|的有沒有最大值？若有，求此最大值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，求出雙曲線的a，b，c，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線的定義和三點(diǎn)共線，可得最小值為|AF'|；
（2）延長FA交雙曲線右支于P，由|PF|-|PA|≤|AF|，結(jié)合漸近線的斜率和直線AF的斜率的關(guān)系，計(jì)算即可得到所求最大值．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，
雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4，
可得F（-4，0），F(xiàn)'（4，0），
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a=4，
可得|PF|=4+|PF'|，
則|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥|AF'|，當(dāng)A，P，F(xiàn)'共線時(shí)，取得等號．
|AF'|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（4-0）^{2}}$=5．
可得|PF|+|PA|的最小值為5；
（2）|PF|-|PA|≤|AF|，當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號．
延長FA交雙曲線右支于P，由雙曲線的漸近線的斜率為±$\sqrt{3}$，
直線AF的斜率為$\frac{4-0}{1+4}$=$\frac{4}{5}$＜$\sqrt{3}$，則P點(diǎn)存在．
|AF|=$\sqrt{（1+4）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
則|PF|-|PA|的最大值為$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是定義法的運(yùn)用，以及三點(diǎn)共線取得最值，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．