Question

已知坐標(biāo)平面內(nèi)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

=(1，5)，

OB

=(7，1)，

OM

=(1，2)，P是線段OM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)

PA

•

PB

取最小值時(shí)，求

OP

的坐標(biāo)，并求cos∠APB的值．

Answer 1

分析：由題意知

OM

與

OP

共線，由向量共線定理可得?λ∈[0，1]使得

OP

=

λOM

=(λ，2λ)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得f（λ）=5λ²-20λ+12，λ∈[0，1]結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間[0，1]的單調(diào)性可求函數(shù)的最小值及P的坐標(biāo)；代入向量夾角公式cos∠APB=

PA • PB

| PA | |PB |

求值

解答：解：由題意，可設(shè)

OP

=(λ，2λ)，其中λ∈[0，1]，
則

PA

=(1-λ，5-2λ)，

PB

=(7-λ，1-2λ)（4分）
設(shè)f(λ)=

PA

•

PB

，則f（λ）=（1-λ）（7-λ）+（5-2λ）（1-2λ）
=5λ²-20λ+12，λ∈[0，1]（8分）
又f（λ）在[0，1]上單調(diào)遞減
∴當(dāng)λ=1時(shí)f（λ）取得最小值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）（12分）

PA

=(0，3)，

PB

=(6，-1)（14分）
∴cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

=

-3

3 37

=-

37

37

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量共線定理，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二次函數(shù)的單調(diào)性及最值的求解，向量夾角的坐標(biāo)表示．熟練掌握向量的基礎(chǔ)知識(shí)并能靈活運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．