Question

4．若直線ax+by-1=0（其中a＞0且b＞0）被圓x²+y²-4x-2y+1=0截得的弦長為16，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 由題意直線ax+by-1=0（其中a＞0且b＞0）經過圓心（2，1），從而2a+b=1，進而$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（2a+b），由此能求出$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值．

解答 解：∵圓x²+y²-4x-2y+1=0的圓心為（2，1），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4-4}$=8，
∴直線ax+by-1=0（其中a＞0且b＞0）經過圓心（2，1），
∴2a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（2a+b）=$\frac{4a}+\frac{a}+4$≥$2\sqrt{\frac{4a}•\frac{a}}$+4=8．
當且僅當$\frac{4a}=\frac{a}$時取等號，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為8．
故選：B．

點評 本題考查代數式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質和基本不等式的合理運用．