Question

9．方程f（x）=x的根稱為函數f（x）的不動點，若函數$f（x）=\frac{x}{a（x+5）}$有唯一不動點，且x₁=1613，${x_{n+1}}=\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$（n∈N^*），則x₂₀₁₆=2016．

Answer 1

分析 由題意可知：由$\frac{x}{a（x+5）}$=x，可得ax²+（5a-1）x=0，$f（x）=\frac{x}{a（x+5）}$有唯一不動點，求得a的值，代入函數解析式，由${x_{n+1}}=\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$=$\frac{5{x}_{n}+1}{5}$=x_n+$\frac{1}{5}$．則₂₀₁₆=x₁+$\frac{1}{5}$×2015=1613+403=2016．

解答 解：由$\frac{x}{a（x+5）}$=x，得ax²+（5a-1）x=0．
∵f（x）有唯一不動點，
∴5a-1=0，即a=$\frac{1}{5}$．
∴f（x）=$\frac{5x}{x+5}$．
∴${x_{n+1}}=\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$=$\frac{5{x}_{n}+1}{5}$=x_n+$\frac{1}{5}$．
∴x₂₀₁₆=x₁+$\frac{1}{5}$×2015=1613+403=2016．
故答案為：2016

點評 本題主要考查函數不動點的知識、考查數列的函數性質以及等差數列的通項公式的表示法，屬于中檔題．