Question

已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．

求證：l⊥α

Answer 1

答案：
解析：

證法一：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO＝BO＝CO．設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中， 　　∵PO公用，AO＝BO＝CO，∠POA＝∠POB＝∠POC， 　　∴△POA≌△POB≌△POC 　　∴PA＝PB＝PC．取AB中點(diǎn)D．連結(jié)OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB， 　　∵ 　　∴AB⊥平面POD 　　∵PO平面POD． 　　∴PO⊥AB． 　　同理可證PO⊥BC 　　∵，， 　　∴PO⊥α，即l⊥α 　　若l不經(jīng)過O時(shí)，可經(jīng)過O作∥l．用上述方法證明⊥α， 　　∴l⊥α． 　　證法二：采用反證法 　　假設(shè)l不和α垂直，則l和α斜交于O． 　　同證法一，得到PA＝PB＝PC． 　　過P作于，則，O是△ABC的外心．因?yàn)?/FONT>O也是△ABC的外心，這樣，△ABC有兩個(gè)外心，這是不可能的． 　　∴假設(shè)l不和α垂直是不成立的． 　　∴l⊥α 　　若l不經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)，過O作∥l，用上述同樣的方法可證⊥α， 　　∴l⊥α 　　評(píng)述：(1)證明線面垂直時(shí)，一般都采用直接證法(如證法一)，有時(shí)也采用反證法(如證法二)或同一法．