Question

過拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，則直線l的傾斜角θ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由y²=2x可得焦點(diǎn)F(

1

2

，0)．由題意設(shè)y=k（x-

1

2

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（不妨設(shè)x₂＞x₁）與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用焦半徑公式即可得出．

解答： 解：由y²=2x可得焦點(diǎn)F(

1

2

，0)．
由題意設(shè)y=k（x-

1

2

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（不妨設(shè)x₂＞x₁）
聯(lián)立

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，
化為4k²x²-（8+4k²）x+k²=0．
∴x₁+x₂=

2+k2

k2

，x₁x₂=

1

4

．
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 1+k2

k2

．
∵

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，
∴

1

x1+ 1 2

-

1

x2+ 1 2

=1，
化為x₂-x₁=x₁x₂+

1

2

(x1+x2)+

1

4

，

2 1+k2

k2

=

1

4

+

2+k2

2k2

+

1

4

，
化為k²=3，
設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ=±

3

．
∴

π

3

或

2π

3

．
故答案為：

π

3

或

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦半徑公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．