Question

已知函數(shù)f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（1）若p=2．求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞2成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)p=2時(shí)，寫出f（x）的解析式，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率，從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（2）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需f′（x）≥0，再利用二次函數(shù)恒成立的條件得出正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=px²-2x+p．先對參數(shù)p進(jìn)行分類討論：①當(dāng)p＜0時(shí)，當(dāng)p=0時(shí)，它在[1，e]上也是減函數(shù)，f（x）的最大值=f（1）=0＜2不合題意．②當(dāng)0＜p＜1時(shí)，當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時(shí)也不合題意．③當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，利用f（x）的最大值得出p（e-

1

e

）＞4，解得p的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)p=2時(shí)，f（x）=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=2+

2

x2

-

2

x

，
曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=2+2-2=2，
從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1）即y=2x-2．
（2）由 f（x）=px-

p

x

-2lnx，得f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需f′（x）≥0，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，…（5分）
∵px²-2x+p在（0，+∞）內(nèi)的最小值為p-

1

p

，
故只須p-

1

p

≥0，
從而p≥1．…（7分）
（3）①當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²-2x+p，它在[1，e]上是減函數(shù)，
當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=-2x，此時(shí)，它在[1，e]上也是減函數(shù)，
故當(dāng)p≤0，在[1，e]上是減函數(shù)，∴f（x）的最大值=f（1）=0＜2不合題意．
②當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]，⇒x-

1

x

≥0，
∴f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx≤x-

1

x

-2lnx，由（2）知，當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2不合題意．
③當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
f（x）的最大值=f（e）=p（e-

1

e

）-2lne＞2，
即p（e-

1

e

）＞4，解得p＞

4e

e2-1

．
故p的取值范圍是（

4e

e2-1

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．