分析:(1)當(dāng)p=2時(shí),寫出f(x)的解析式,求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率,從而曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(2)先求導(dǎo)數(shù)f′(x),要使f(x)在其定義域(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),只需f′(x)≥0,再利用二次函數(shù)恒成立的條件得出正實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(3)設(shè)h(x)=px
2-2x+p.先對參數(shù)p進(jìn)行分類討論:①當(dāng)p<0時(shí),當(dāng)p=0時(shí),它在[1,e]上也是減函數(shù),f(x)的最大值=f(1)=0<2不合題意.②當(dāng)0<p<1時(shí),當(dāng)p=1時(shí),f(x)在[1,e]上是增函數(shù),此時(shí)也不合題意.③當(dāng)p≥1時(shí),由(2)知f(x)在[1,e]上是增函數(shù),利用f(x)的最大值得出p(e-
)>4,解得p的取值范圍.
解答:解:(1)當(dāng)p=2時(shí),f(x)=2x-
-2lnx,f(1)=2-2-2ln1=0,f′(x)=2+
-
,
曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為f′(1)=2+2-2=2,
從而曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-0=2(x-1)即y=2x-2.
(2)由 f(x)=px-
-2lnx,得f′(x)=p+
-
=
要使f(x)在其定義域(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),只需f′(x)≥0,
即px
2-2x+p≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,…(5分)
∵px
2-2x+p在(0,+∞)內(nèi)的最小值為p-
,
故只須p-
≥0,
從而p≥1.…(7分)
(3)①當(dāng)p<0時(shí),h(x)=px
2-2x+p,它在[1,e]上是減函數(shù),
當(dāng)p=0時(shí),h(x)=-2x,此時(shí),它在[1,e]上也是減函數(shù),
故當(dāng)p≤0,在[1,e]上是減函數(shù),∴f(x)的最大值=f(1)=0<2不合題意.
②當(dāng)0<p<1時(shí),由x∈[1,e],⇒x-
≥0,
∴f(x)=p(x-
)-2lnx≤x-
-2lnx,由(2)知,當(dāng)p=1時(shí),f(x)在[1,e]上是增函數(shù),
∴x-
-2lnx≤e-
-2lne=e-
-2<2不合題意.
③當(dāng)p≥1時(shí),由(2)知f(x)在[1,e]上是增函數(shù),
f(x)的最大值=f(e)=p(e-
)-2lne>2,
即p(e-
)>4,解得p>
.
故p的取值范圍是(
,+∞).