Question

17．設(shè)f（x）=lnx+ae^-x，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線直線2x-y-10=0平行，求a的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）為定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a=-1，求證：f（x）+$\frac{2}{ex}$＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出a的值．
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值，使得a小于函數(shù)的最小值即可．
（3）要證不等式在一個(gè)區(qū)間上恒成立，把問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變形，求出f（x）=xlnx的最小值，只要求函數(shù)G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$的最大值進(jìn)行比較即可得證．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+ae^-x，x＞0
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^-x，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線直線2x-y-10=0平行，
∴f′（1）=1-ae^-1=2，解得a=-e，
（2）由（1）知，f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^-x，
∵函數(shù)y=f（x）為定義域上的增函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^-x＞0，在（0，+∞）上恒成立，
∴a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即x＞1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=e，
∴a＜e，
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx-e^-x，
要證f（x）+$\frac{2}{ex}$＞0，
只要證xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為1+lnx，當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）遞增，
x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）遞減，即有x=$\frac{1}{e}$時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{e}$；
設(shè)G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
則G'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，G（x）遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，G（x）遞減．則有x=1處取得最大值-$\frac{1}{e}$，
從而可知對(duì)一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
即f（x）+$\frac{2}{ex}$＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最值，利用函數(shù)思想時(shí)也要用導(dǎo)數(shù)來(lái)求最值，屬于難題