Question

2．設函數(shù)f（x）=ax²+bx+1-cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）若a=0，b=-$\frac{1}{2}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=0，討論f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出零點的個數(shù)．

解答 解：（1）若a=0，b=-$\frac{1}{2}$，
則f（x）=-$\frac{1}{2}$x+1-cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
f′（x）=-$\frac{1}{2}$+sinx，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜$\frac{π}{6}$
令f′（x）＞0，解得：$\frac{π}{6}$＜x≤$\frac{π}{2}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{6}$）遞減，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]遞增；
（2）b=0時，f（x）=ax²+1-cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
f′（x）=2ax+sinx，
①a≥0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞增，
∴f（x）的最小值是f（0）=0，此時函數(shù)有1個零點；
②-$\frac{1}{π}$≤a＜0時，-2ax≤sinx，故f′（x）≥0，
f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞增，
∴f（x）的最小值是f（0）=0，此時函數(shù)有1個零點；
③-$\frac{4}{{π}^{2}}$＜a＜-$\frac{1}{π}$時，存在x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得：
x∈（0，x₀），f′（x）＞0，x∈（x₀，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，x₀）遞增，在（x₀，$\frac{π}{2}$]遞減，
而f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{{π}^{2}}{4}a$+1＞0，此時函數(shù)有1個零點；
④a=-$\frac{4}{{π}^{2}}$時，f（$\frac{π}{2}$）=0，此時函數(shù)有2個零點；
⑤-1＜a＜-$\frac{4}{{π}^{2}}$時，存在x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得：
在（0，x₀），f′（x）＞0，在（x₀，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，x₀）遞增，在（x₀，$\frac{π}{2}$]遞減，
而f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{{π}^{2}}{4}a$+1＜0，此時函數(shù)有2個零點，
a≤-1時，f′（x）=2ax+sinx，f″（x）=2a+cosx＜0，
∴f′（x）_min=f′（$\frac{π}{2}$）=aπ+1＜0，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞減，
f（x）_max=f（0）=0，此時函數(shù)有1個零點，
綜上：a＞-$\frac{4}{{π}^{2}}$或a≤-1時，f（x）有1個零點，-1＜a≤-$\frac{4}{{π}^{2}}$時，f（x）有2個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．