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【題目】已知橢圓的左頂點 與上頂點的距離為

(Ⅰ)求橢圓的方程和焦點的坐標;

(Ⅱ)點在橢圓上,線段的垂直平分線與軸相交于點,若為等邊三角形,求點的橫坐標.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)先由題意得到,求出,進而可得出橢圓方程,求出焦點坐標;

(Ⅱ)先設,先分析當點為右頂點時,不滿足題意,得到;再設線段中點為,得到,根據,為正三角形,建立等量關系,進而可求出結果.

(Ⅰ)依題意,有.所以

所以橢圓方程為

所以,

焦點坐標分別為

(Ⅱ)設,則,且

若點為右頂點,則點為上(或下)頂點,,△不是等邊三角形,不合題意,所以.

設線段中點為,所以

因為,所以

因為直線的斜率

所以直線的斜率

又直線的方程為

,得到

因為,所以

因為為正三角形,

所以,即

化簡,得到,解得(舍)

即點的橫坐標為.

練習冊系列答案
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)求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程;

)若曲線C經過伸縮變換后得到曲線C′,且直線l與曲線C′交于A,B兩點,求|MA|+|MB|

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