【題目】已知函數(shù)f0(x)= (x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導數(shù),n∈N*.
(1)求2f1+f2的值;
(2)證明:對任意的n∈N*,等式=都成立.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)由于求兩個函數(shù)的相除的導數(shù)比較麻煩,根據(jù)條件和結(jié)論先將原函數(shù)化為:xf0(x)=sinx,然后兩邊求導后根據(jù)條件兩邊再求導得:2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,把x= 代入式子求值;
(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx和2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導,并利用誘導公式對所得式子進行化簡、歸納,再進行猜想得到等式,用數(shù)學歸納法進行證明等式成立,主要利用假設(shè)的條件、誘導公式、求導公式以及題意進行證明,最后再把x=代入所給的式子求解驗證.
解: (1)由已知,得f1(x)=f′0(x)=,
于是f2(x)=f1′(x)==,
所以,.
故=-1.
(2)證明:由已知得,xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對x求導,得f0(x)+xf0′(x)=cos x,
即f0(x)+xf1(x)=cos x=.
類似可得
2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),
3f2(x)+xf3(x)=-cos x=,
4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).
下面用數(shù)學歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=對所有的n∈N*都成立.
(i)當n=1時,由上可知等式成立.
(ii)假設(shè)當n=k時等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=.
因為[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kfk-1′(x)+fk(x)+xfk′(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),
,
所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=,
因此當n=k+1時,等式也成立.
綜合(i)(ii)可知,等式nfn-1(x)+xfn(x)=對所有的n∈N*都成立.
令x= ,可得
所以
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校健康社團為調(diào)查本校大學生每周運動的時長,隨機選取了80名學生,調(diào)查他們每周運動的總時長(單位:小時),按照共6組進行統(tǒng)計,得到男生、女生每周運動的時長的統(tǒng)計如下(表1、2),規(guī)定每周運動15小時以上(含15小時)的稱為“運動合格者”,其中每周運動25小時以上(含25小時)的稱為“運動達人”.
表1:男生
時長 | ||||||
人數(shù) | 2 | 8 | 16 | 8 | 4 | 2 |
表2:女生
時長 | ||||||
人數(shù) | 0 | 4 | 12 | 12 | 8 | 4 |
(1)從每周運動時長不小于20小時的男生中隨機選取2人,求選到“運動達人”的概率;
(2)根據(jù)題目條件,完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為本校大學生是否為“運動合格者”與性別有關(guān).
每周運動的時長小于15小時 | 每周運動的時長不小于15小時 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 | |||
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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【題目】已知橢圓的左頂點 與上頂點的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和焦點的坐標;
(Ⅱ)點在橢圓上,線段的垂直平分線與軸相交于點,若為等邊三角形,求點的橫坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】十九大指出中國的電動汽車革命早已展開,通過以新能源汽車替代汽/柴油車,中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的計劃.2018年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本2500萬元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬元,且.由市場調(diào)研知,每輛車售價5萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出2018年的利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額-成本)
(2)2018年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
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【題目】在某次數(shù)學考試中,抽查了1000名學生的成績,得到頻率分布直方圖如圖所示,規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.
(1)下表是這次抽查成績的頻數(shù)分布表,試求正整數(shù)、的值;
區(qū)間 | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,95) | [95,100] |
人數(shù) | 50 | a | 350 | 300 | b |
(2)現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進行分析,求抽取成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù);
(3)在根據(jù)(2)抽取的40名學生中,要隨機選取2名學生參加座談會,記其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望(即均值).
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【題目】某少兒游泳隊需對隊員進行限時的仰臥起坐達標測試.已知隊員的測試分數(shù)與仰臥起坐
個數(shù)之間的關(guān)系如下:;測試規(guī)則:每位隊員最多進行三組測試,每組限時1分鐘,當一組測完,測試成績達到60分或以上時,就以此組測試成績作為該隊員的成績,無需再進行后續(xù)的測試,最多進行三組;根據(jù)以往的訓練統(tǒng)計,隊員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時測試的頻率分布直方圖如下:
(1)計算值;
(2)以此樣本的頻率作為概率,求
①在本次達標測試中,“喵兒”得分等于的概率;
②“喵兒”在本次達標測試中可能得分的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與有相同的極值點(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值),求的值;
(2)記.
①若在區(qū)間(為自然對數(shù)底數(shù))上至少存在一點,使得成立,求的取值范圍;
②若函數(shù)圖象存在兩條經(jīng)過原點的切線,求的取值范圍.
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