Question

1．函數(shù)f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$的值域?yàn)椋?$\frac{4\sqrt{10}}{5}，\sqrt{10}$]．

Answer 1

分析 當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）=3；當(dāng)cosx≠-1時(shí)令$sinx=\frac{2k}{1+{k}^{2}}，cosx=\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，代入f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$，化為關(guān)于k的函數(shù)，然后對(duì)k分類變形，再令3k+1=t換元，運(yùn)用二次函數(shù)求最值得答案．

解答 解：當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）=3；
當(dāng)cosx≠-1時(shí)，令$sinx=\frac{2k}{1+{k}^{2}}，cosx=\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
則g（k）=f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$=$\frac{3+\frac{10k}{1+{k}^{2}}}{\sqrt{5+\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+\frac{6k}{1+{k}^{2}}}}$
=$\frac{3{k}^{2}+10k+3}{\sqrt{（{k}^{2}+1）•（k+3）^{2}}}$=$\frac{（k+3）（3k+1）}{\sqrt{{k}^{2}+1}|k+3|}$．
當(dāng)-3＜k＜$-\frac{1}{3}$時(shí)，g（k）=-$\sqrt{\frac{（k+3）^{2}（3k+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（k+3）^{2}}}$=$-\sqrt{\frac{（3k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再令3k+1=t（-8＜t＜0），
則h（t）=$-\sqrt{\frac{9{t}^{2}}{{t}^{2}-2t+10}}$=$-\sqrt{\frac{9}{10•\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{2}{t}+1}}$∈$（-\frac{4\sqrt{10}}{5}，0）$；
當(dāng)h＜-3或k$≥-\frac{1}{3}$時(shí)，g（k）=$\sqrt{\frac{（k+3）^{2}（3k+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（k+3）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（3k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再令3k+1=t（t＜-8或t≥0），
則h（t）=$\sqrt{\frac{9{t}^{2}}{{t}^{2}-2t+10}}=\sqrt{\frac{9}{10•\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{2}{t}+1}}$∈[0，$\sqrt{10}$]．
綜上，函數(shù)f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$的值域?yàn)椋海?$\frac{4\sqrt{10}}{5}，\sqrt{10}$]．
故答案為：（-$\frac{4\sqrt{10}}{5}，\sqrt{10}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了換元法求函數(shù)的值域，屬難題．