Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0 ）的短軸為直徑，以頂點(diǎn)為圓心與直線y=x+

6

相切，且橢圓C的離心率為

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若A、B是橢圓C上的點(diǎn)，且AB⊥x軸，M（4，0），連接直線MB交橢圓C于另一點(diǎn)D（不同于B點(diǎn)），試分析直線AD與x軸是否相交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先根據(jù)已知條件建立等量關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，離心率和a、b、c的關(guān)系式，解方程組確定橢圓的方程．
（2）由（1）的結(jié)論利用直線和橢圓的位置關(guān)系建立等量關(guān)系式，利用韋達(dá)定理求的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

解答： 解：（1）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0 ）的短軸為直徑，以頂點(diǎn)為圓心與直線y=x+

6

相切，
則：原點(diǎn)（0，0）到直線x-y+

6

=0的距離為b

| 6 |

2

=b=

3

①
由于橢圓C的離心率為

1

2

．
則：

c

a

=

1

2

②
a²=b²+c²③
由①②③解得：a²=4，b²=3
所以橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）根據(jù)題意知：直線BM的斜率存在，設(shè)直線方程為：y=k（x-4）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-4)

得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則：x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)A（x₂，-y₂）
則：直線AD的直線方程為：y-y1=

y1+y2

x2-x1

(x-x1)
令y=0得：x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

由于y₁=k（x₁-4），y_，2=k（x₂-4）
則x=

2x1x2-4(x2+x1)

x1+x2-8

=1
則：直線AD交x軸于定點(diǎn)（1，0）點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓方程的求法，點(diǎn)到直線的距離，離心率的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，定點(diǎn)的求法．屬于中等題型．