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11.已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+ax+2在(e2,+∞)單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=x1+x22時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系即可求出,
(2)先求導(dǎo),再根據(jù)函數(shù)g(x)=f(x)+ax+2在(e2,+∞)單調(diào)遞減,得到g′(x)=1+a+1x,分離參數(shù),求出函數(shù)的最值即可.
(3)假設(shè)存在不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨設(shè)0<x1<x2),使得AB存在“中值伴隨切線”,則f′(x1+x22)=kAB,化簡(jiǎn)后,通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用定義,推出結(jié)論矛盾,得到結(jié)果.

解答 解:(1)x∈(0,e)時(shí),f(x)=x2+2(1-lnx),f′(x)=2x-2x=2x21x,
令f′(x)>0得x∈(1,e);f′(x)<0得x∈(0,1).
∴f′(x)在(0,1]上單減,在[1,e)上單增;
x∈[e,+∞)時(shí),f(x)=x2+2(lnx-1),f′(x)=2x+2x>0對(duì)x∈[e,+∞)恒成立.
∴f(x)在[e,+∞)單調(diào)遞增.
故f(x)min=f(1)=3.
(2)g(x)=f(x)+ax+2=x+2(lnx-1)+ax+2=x+lnx+ax,
∴g′(x)=1+a+1x,
∵函數(shù)g(x)=f(x)+ax+2在(e2,+∞)單調(diào)遞減,
∴g′(x)=1+a+1x≤0在(e2,+∞),
∴a≤-1-1x,
∵y=-1-1x在(e2,+∞)為增函數(shù),
∴y<-1-1e2,
∴a≤-1-1e2,
故a的取值范圍為(-∞,-1-1e2]
(3)當(dāng)x≥e時(shí),f(x)=x2+2(lnx-1),f′(x)=2x+2x,假設(shè)函數(shù)f(x)存在“中值伴侶切線”.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是曲線y=f(x)上的不同兩點(diǎn),且0<x1<x2,
則y1=x12+2(lnx1-1),y2=x22+2(lnx2-1).
故直線AB的斜率:kAB=y1y2x1x2=[x212lnx11][x222lnx21]x1x2=(x1+x2)+2•lnx1lnx2x1x2,
曲線在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線斜率:
k=f′(x0)=f′(x1+x22)=(x1+x2)+4x1+x2
依題意得(x1+x2)+2•lnx1lnx2x1x2=(x1+x2)+4x1+x2
 化簡(jiǎn)可得:lnx1lnx2x1x2=2x1+x2,即ln x2x1=2x2x1x2+x1=2x2x11x2x1+1
設(shè)x2x1=t(t>1),上式化為由lnt=2t1t+1
當(dāng)t>1時(shí),lnt+4t+1>2恒成立.
∴在(1,+∞)內(nèi)不存在t,使得lnt+4t+1=2成立.
綜上所述,假設(shè)不成立.
∴函數(shù)f(x)不存在“中值伴侶切線

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,新定義以及構(gòu)造法的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于難題.

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