Question

15．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD=50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 易求∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理可求BC，在△BCD中，由正弦定理可求sin∠BDC，再由∠BDC=θ+90°可得答案．

解答 解：∵∠CBD=45°，∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理，得BC=$\frac{100sin15°}{sin30°}$=50（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
在△BCD中，由正弦定理，得$\frac{50（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{sin∠BDC}=\frac{50}{sin45°}$，
∴sin∠BDC=$\sqrt{3}$-1，即sin（θ+90°）=$\sqrt{3}$-1，
∴cosθ=$\sqrt{3}$-1，
故答案為$\sqrt{3}$-1．

點評 該題考查正弦定理在實際問題中的應用，屬基礎(chǔ)題，由實際問題恰當構(gòu)建數(shù)學模型是解題關(guān)鍵．