Question

已知四棱錐A-BCDE的底面是邊長為2的正方形，面ABC⊥底面BCDE，且AB=AC=2，則四棱錐A-BCDE外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積,球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖所示，連接CE，BD，相交于點(diǎn)O₁，過點(diǎn)O₁作OO₁⊥平面BCDE．設(shè)等邊三角形ABC的中心為O₂點(diǎn)，過O₂點(diǎn)作OO₂⊥平面ABC，點(diǎn)O為OO₂與OO₁的交點(diǎn)，則點(diǎn)O為四棱錐A-BCDE外接球的球心．利用正方形與等邊三角形的有關(guān)知識(shí)即可得出四棱錐A-BCDE外接球的半徑R，再利用球的表面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：如圖所示，
連接CE，BD，相交于點(diǎn)O₁，過點(diǎn)O₁作OO₁⊥平面BCDE．
設(shè)等邊三角形ABC的中心為O₂點(diǎn)，過O₂點(diǎn)作OO₂⊥平面ABC，點(diǎn)O為OO₂與OO₁的交點(diǎn)，
則點(diǎn)O為四棱錐A-BCDE外接球的球心．
∵底面是邊長為2的正方形，∴O₁E=

2

．
由△ABC是邊長為2的等邊三角形，可得OO₁=

1

3

×

3

．
∴四棱錐A-BCDE外接球的半徑R=

O O 2 1 +O1E2

=

( 3 3 )2+( 2 )2

=

7 3

．
∴四棱錐A-BCDE外接球的表面積=4πR²=

28π

3

．
故答案為：

28π

3

．

點(diǎn)評：本題考查了線面由于面面垂直的性質(zhì)、正方形與等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、球的表面積計(jì)算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．