斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為4 cm的正三角形,側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成60°的角,AA1=7
(1)求證:AA1⊥BC;
(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的全面積;
(3)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積;
(4)求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離.
解析:設(shè)A1在平面ABC上的射影為0
∵∠A1AB=∠A1AC
∴O在∠BAC的平行線AM上
∵△ABC為正三角形
∴AM⊥BC
又AM為A1A在平面ABC上的射影
∴A1A⊥BC
(2)
∵B1B∥A1A
∴B1B⊥BC,即側(cè)面BB1C1C為矩形
∴
又
∴S全=
(3)∵cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB
∴cos∠A1AO=
∴sin∠A1AO=
∴A1O=A1Asin∠A1AO=
∴
(4)把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點A或A1到平面BB1C1C的距離
為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影,首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面
設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1
∵BC⊥AM,BC⊥A1A
∴BC⊥平面AA1M1M
∴平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1
在平行四邊形AA1M1M中
過A1作A1H⊥M1M,H為垂足
則A1H⊥側(cè)面BB1C1C
∴線段A1H長度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離
∴
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