Question

已知函數(shù)f(x)=x³+ax-1(a∈R),其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x-y+1=0平行,求a的值;

(2)設(shè)g(x)=f′(x)-ax-4,若對一切|a|≤1,都有g(shù)(x)＜0恒成立,求x的取值范圍;

(3)設(shè)a=-p²時,若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=2只有一個公共點,求實數(shù)p的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f′(x)=4x²+a,f′(1)=4+a=2,

所以a=-2.

(2)g(x)=f′(x)-ax-4=4x²-ax+a-4,

令φ(a)=(1-x)a+4x²-4,因為對一切|a|≤1,都有g(shù)(x)＜0恒成立等價于對一切|a|≤1,都有φ(a)＜0恒成立,所以即解得＜x＜1.

則當(dāng)x∈(,1)時,對一切|a|≤1,都有g(shù)(x)＜0恒成立.

(3)當(dāng)a=-p²時,f′(x)=4x²-p².

①當(dāng)p=0時,f(x)=x³-1在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)的圖象與直線y=2有一個公共點.

②當(dāng)p≠0時,f′(x)=(2x+|p|)(2x-|p|).

令f′(x)=0,得x=±.

所以當(dāng)x∈(-∞,),x∈(,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈(-,)時,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減.

因此f(x)的極小值f()=()³+(-p)²-1=-p²|p|-1＜-1.

又f(x)的值域為R,當(dāng)x∈(,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增,則一定與直線y=2有交點,

因此只要f(＜2即可.

而f()=()³-p²()-1=|p|³-1＜2.

解得＜p＜,且p≠0.

綜上①②可得實數(shù)p的取值范圍是＜p＜.