Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1（a≥0）．
（1）試討論函數(shù)f（x）在[0，2]的單調(diào)性；
（2）若a＞1，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分a=0、

1

a

≥2、0＜

1

a

＜2三種情況，分別利用函數(shù)的圖象性質(zhì)，研究函數(shù) 在[0，2]的單調(diào)性．
（2）根據(jù)a＞1，則0＜

1

a

＜1，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，2]上是增函數(shù)，由此求得函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．
（3）當(dāng)a=0 時(shí)，f（x）為一次函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．當(dāng)a＞0時(shí)，分函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)相等的零點(diǎn)、函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn) 兩種情況，分別求出
a的取值范圍，再取并集．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-2x+1，在[0，2]上是減函數(shù)．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1的圖象是拋物線，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=

1

a

，
若

1

a

≥2，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是減函數(shù)．
若0＜

1

a

＜2，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，2]上是增函數(shù)．
綜上，當(dāng) a=0或

1

a

≥2 時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜

1

a

＜2，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，2]上是增函數(shù)．
（2）若a＞1，則0＜

1

a

＜1，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，2]上是增函數(shù)，
故函數(shù)的最大值為 f（2）=4a-3，最小值為 f（

1

a

）=1-

1

a

．
（3）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-2x+1在區(qū)間（0，2）上只有一個(gè)零點(diǎn)x=

1

2

，符合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，
①若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)相等的零點(diǎn)（即一個(gè)零點(diǎn)），
則

△=4-4a=0 0＜ 1 a ＜2

，解得a=1，符合題意．
②若函數(shù)f（x）有二個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（0，2）內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（0，2）外
則f（0）f（2）＜0，即4a-3＜0，得0＜a＜

3

4

．
綜上：f（x）在區(qū)間（0，2）上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍為0≤a＜

3

4

，或a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的方法，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意分類的層次，屬于中檔題．