Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=f（x）+f（1），且當(dāng)x∈[0，1]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：
①f（1）=0；
②直線x=-2為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[4，5]是單調(diào)遞遞增；
④若方程f（x）=m在[-3，-1]上的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-4．
以上命題正確的是

 

．（請把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，令x=-1，即可得到f（1）=0；
②，利用y=f（x）為周期為2的偶函數(shù)，即可得到f（-2-x）=f（2+x）=f（-2+x），從而可判斷②；
③，利用y=f（x）為周期為2的函數(shù)，及x∈[0，1]時，y=f（x）單調(diào)遞減，可判斷函數(shù)y=f（x）在[4，5]是單調(diào)遞減函數(shù)，可判斷③；
④，由②知y=f（x）關(guān)于x=-2對稱，從而可判斷④．

解答： 解：對于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），
∴f（-1+2）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=0，又f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-1）=f（1）=0，故①正確；
且當(dāng)x∈[0，1]時，y=f（x）單調(diào)遞減，
對于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）為周期為2的偶函數(shù)，
∴f（-2-x）=f（2+x）=f（-2+x），
∴y=f（x）關(guān)于x=-2對稱，故②正確；
對于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）為周期為2的函數(shù)，
又x∈[0，1]時，y=f（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=f（x）在[4，5]是單調(diào)遞減函數(shù)，故③錯誤；
對于④，∵偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
∴y=f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，又y=f（x）為周期為2的函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[-3，-2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減，
又y=f（x）關(guān)于x=-2對稱，
∴當(dāng)方程f（x）=m在[-3，-1]上的兩根為x₁，x₂時，x₁+x₂=-4，故④正確．
綜上所述，①②④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查考查命題的真假判斷與應(yīng)用，注重考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性及函數(shù)的零點，考查分析與綜合應(yīng)用能力，屬于難題．