Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，分別為其左右焦點(diǎn)．一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切．

（Ⅰ）（ⅰ）求橢圓的方程； （ⅱ）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

（Ⅱ） 在曲線上有兩點(diǎn)，橢圓上有兩點(diǎn)，滿足與共線，

與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（i）,（ⅱ）. （Ⅱ）四邊形PMQN面積的最小值為8. 

【解析】第一問(wèn)中，

、

第二問(wèn)中，由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，=4,  此時(shí)的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng),=4,

   從而

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則，直線的方程為

直線的方程為， 設(shè)，,,

     由，消去y可得

      由拋物線定義可知：

解：由已知可得

（ⅱ）由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程x=-1，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為.                 ------------6分

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，=4,  此時(shí)的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng),=4,

   從而  …………… 7分

  當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則，直線的方程為

直線的方程為， 設(shè)，,,

     由，消去y可得

      由拋物線定義可知：

   ……………9分

   由消去y得，

    令，∵k>0則t>1  ,則

    因?yàn)? ,  所以       

所以四邊形PMQN面積的最小值為8       ……………12分