Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)同時滿足如下三個條件：①定義域為；②是偶函數(shù)；③時，，其中.

（Ⅰ）求在上的解析式，并求出函數(shù)的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)，時，函數(shù)，若的圖象恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)， ）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）的圖象恒在直線y=e上方

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)定義域和奇偶性的判定以及奇偶性的運(yùn)用和解析式的求解，以及圖像與圖像的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）因為函數(shù)同時滿足如下三個條件：①定義域為；②是偶函數(shù)；③時，，其中.

故可以得到在上的解析式，并求出函數(shù)的最大值；

（2）當(dāng)，時，函數(shù)，若的圖象恒在直線上方，即成立即可。

解：（Ⅰ）任取， 

又f(x)是偶函數(shù)，故…………2分

由f(x)是定義域為的偶函數(shù)可知，f(x)在的最大值即可為f(x)的最大值.

當(dāng)

          …………5分

綜上可知： 

                                                            …………6分

另解：

由f(x)是定義域為的偶函數(shù)可知，f(x)在的最大值即可為f(x)的最大值.

當(dāng)

當(dāng)

此時…

當(dāng)

①當(dāng)

此時 

②當(dāng)

③

此時…………7分

綜上可知：

（2）

==…9分

要函數(shù)的圖象恒在直線y=e上方，

即成立，…………10分

，令=0，解得

 ①當(dāng)

此時…………11分

②當(dāng)

此時,

故時可滿足題意；…………12分

③

此時…13分

綜上可知：的圖象恒在直線y=e上方，…………14分