已知雙曲線的中心在原點,焦點在坐標軸上,離心率e=
3
,焦距為2
3

(1)求該雙曲線方程.
(2)是否定存在過點P(1,1)的直線l與該雙曲線交于A,B兩點,且點P是線段AB的中點?若存在,請求出直線l的方程,若不存在,說明理由.
考點:雙曲線的簡單性質
專題:計算題,存在型,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(1)設出雙曲線方程,由條件可得c,再由離心率公式.可得a,再由a,b,c的關系,可得b,進而得到雙曲線方程;
(2)假設存在,設過P(1,1)的直線方程為:y-1=k(x-1),A,B兩點的坐標為(x1,y1),(x2,y2),代入雙曲線方程,再相減,運用平方差公式和中點坐標公式,及斜率公式,即可得到所求直線的斜率,進而得到直線方程,檢驗判別式即可判斷.
解答: 解:(1)設雙曲線方程為:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)
由離心率e=
3
,焦距為2
3
,則c=
3
,a=1,b2=c2-a2=2,
則雙曲線方程為:x2-
y2
2
=1;
(2)假設存在過點P(1,1)的直線l與該雙曲線交于A,B兩點,
且點P是線段AB的中點.
設過P(1,1)的直線方程為:y-1=k(x-1),
A,B兩點的坐標為(x1,y1),(x2,y2),
則2x12-y12=2,2x22-y22=2,
相減可得,2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2
由P為AB的中點,則x1+x2=2,y1+y2=2,
則k=
y1-y2
x1-x2
=2,
即有直線AB的方程:y-1=2(x-1),即有y=2x-1,
代入雙曲線方程2x2-y2=2,可得,2x2-4x+3=0,
檢驗判別式為16-24<0,方程無解.
故不存在過點P(1,1)的直線l與該雙曲線交于A,B兩點,
且點P是線段AB的中點.
點評:本題考查雙曲線的方程、性質和運用,考查點差法求中點問題,注意檢驗判別式的符號,考查運算能力,屬于中檔題和易錯題.
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1
2
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7
2
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x2
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;若n為偶數(shù),且{an}的“衍生數(shù)列”是{bn},則{bn}的“衍生數(shù)列”是
 

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