已知函數(shù)f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),當x∈(0,e]時,f(x)=ax+lnx(其中e是自然界對數(shù)的底,a∈R)
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè),求證:當a=-1時,;
(3)是否存在實數(shù)a,使得當x∈[-e,0)時,f(x)的最小值是3?如果存在,求出實數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)先設(shè)x∈[-e,0)則-x∈(0,e],再求出f(-x)利用函數(shù)是奇函數(shù)求出f(x),最后用分段函數(shù)表示出函數(shù)的解析式;
(2)由(1)知x∈[-e,0)時f(x)的解析式,再構(gòu)造函數(shù),分別求出這兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和符號,判斷出它們在區(qū)間[-e,0)的單調(diào)性,并求出f(x)的最小值和h(x)的最大值,判斷出最小值比最大值大,則不等式成立;
(3)先假設(shè)存在實數(shù)a滿足條件,再求出x∈[-e,0)時f(x)的導(dǎo)函數(shù),對a的符號分類討論來確定f'(x)的符號,進而判斷出在區(qū)間[-e,0)上的單調(diào)性,求出最小值和m的值,注意驗證范圍是否符合.
解答:解:(1)設(shè)x∈[-e,0),則-x∈(0,e],∴f(-x)=-ax+ln(-x),
又∵f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),
∴f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),
∴函數(shù)f(x)的解析式為

(2)證明:當x∈[-e,0)且a=-1時,,
設(shè)
,
∴當-e≤x≤-1時,f'(x)≤0,此時f(x)單調(diào)遞減;
當-1<x<0時,f'(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(-1)=1>0,
又∵
∴當-e≤x<0時,h'(x)≤0,此時h(x)單調(diào)遞減,

∴當x∈[-e,0)時,f(x)>h(x),即

(3)解:假設(shè)存在實數(shù)a,使得當x∈[-e,0)時,f(x)=ax-ln(-x)有最小值是3,

(。┊攁=0,x∈[-e,0)時,.f(x)在區(qū)間[-e,0)上單調(diào)遞增,
f(x)min=f(-e)=-1,不滿足最小值是3
(ⅱ)當a>0,x∈[-e,0)時,f'(x)>0,f(x)在區(qū)間[-e,0)上單調(diào)遞增,
f(x)min=f(-e)=-ae-1<0,也不滿足最小值是3
(ⅲ)當,由于x∈[-e,0),則,
故函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函數(shù).
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得(舍去)
(ⅳ)當時,則
時,,此時函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)是減函數(shù);
時,,此時函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)是增函數(shù).
,解得a=-e2
綜上可知,存在實數(shù)a=-e2,使得當x∈[-e,0)時,f(x)有最小值3.
點評:本題是一道綜合題,考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式;構(gòu)造函數(shù)再求其導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值證明不等式成立問題;對含有參數(shù)用分類討論思想判斷導(dǎo)函數(shù)的符號再求出函數(shù)的最值,本題綜合性強且計算量大,應(yīng)是難度很大的題.
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已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計算:[f(1)]2-[g(1)]2;
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點,且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項和.求Tn

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已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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