Question

定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18．若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）至少有三個零點，則a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  2

  2

  ）
• B、（0，

  3

  3

  ）
• C、（0，

  5

  5

  ）
• D、（0，

  6

  6

  ）

Answer 1

分析：令x=-1，求出f（1），可得函數(shù)f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，利用數(shù)形結合的方法進行求解．

解答：解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域
為R的偶函數(shù)，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
f（-1）=f（1），
即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)．
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
函數(shù)的圖象為開口向下、頂點為（3，0）的拋物線．
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上
至少有三個零點，
令g（x）=log_a（|x|+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個交點．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1．
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
則有g（2）＞f（2），可得 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
∴l(xiāng)og_a3＞-2，∴3＜

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

．
又a＞0，∴0＜a＜

3

3

，
故選：B．

點評：此題主要考查函數(shù)周期性及其應用，解題的過程中用到了數(shù)形結合的方法，這也是高考�？嫉臒狳c問題，屬于中檔題．