Question

18．已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求：
（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）求含x³項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求a₁+a₂+…+a₇的值．

Answer 1

分析 本題由于是求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)之和，故可以令二項(xiàng)式中的x=1，又由于所求之和不含a₀，令x=0，可求出a₀的值，代入即求答案

解答 解：因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為${T}_{r+1}={C}_{7}^{r}（-2）^{r}{x}^{r}$，
所以（1）展開式的常數(shù)項(xiàng)為r=0時(shí)a₀=1；
（2）令r=3，得到含x³項(xiàng)為${T}_{4}={C}_{7}^{3}（-2）^{3}{x}^{3}$=-280x³，所以含x³項(xiàng)的系數(shù)是-280；
（3）令x=1代入二項(xiàng)式（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷得，（1-2）⁷=a₀+a₁+…+a₇=-1，
令x=0得a₀=1
∴1+a₁+a₂+…+a₇=-1
∴a₁+a₂+…+a₇=-2．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；求特征項(xiàng)要明確通項(xiàng)；一般在求解有二項(xiàng)式的系數(shù)的和等問題時(shí)，通常會(huì)將二項(xiàng)式展開式中的未知數(shù)x賦值為1或0或者是-1進(jìn)行求解．