Question

8．如圖，直角三角形ABC的頂點坐標A（-2，0），直角頂點B（0，-2$\sqrt{2}$），頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點，三角形ABC外接圓的圓心為M．
（1）求BC邊所在直線方程；
（2）求圓M的方程；
（3）直線l過點P且傾斜角為$\frac{π}{3}$，求該直線被圓M截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）求出BC的斜率，可得BC邊所在直線方程；
（2）求出圓心與半徑，即可求圓M的方程；
（3）直線l過點P且傾斜角為$\frac{π}{3}$，得出直線方程，即可求該直線被圓M截得的弦長．

解答 解：（1）∵k_AB=-$\sqrt{2}$，AB⊥BC                                …1分
∴k_BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BC邊所在直線方程y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-2$\sqrt{2}$．…4分
（2）在上式中，令y=0得：C（4，0）…5分
∴圓心M（1，0）
 又∵AM=3                          …7分
∴外接圓的方程為（x-1）²+y²=9                         …9分
（3）∵P（-1，0），直線l過點P且傾斜角為$\frac{π}{3}$，∴直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+1）…10分
點M到直線l的距離為$\sqrt{3}$                                       …12分
直線l被圓M截得的弦長為2$\sqrt{6}$．                               …14分．

點評 本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．