Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-2ax-2a）．
（Ⅰ）設(shè)當(dāng)x=2時(shí)為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若g(x)=ex(-

1

3

x3+x2-6a)，討論關(guān)于x的方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，可得f′（2）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）由f（x）=g（x）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極大值和極小值，根據(jù)極值的大小關(guān)系即可判斷方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f′（x）=e^x（x²-2ax-2a）+e^x（2x-2a）
=e^x（x²-2ax+2x-4a）=e^x（x+2）（x-2a）．
∵x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，
∴f′（2）=0，
∴a=1；
（Ⅱ）∵g(x)=ex(-

1

3

x3+x2-6a)，
∴若f（x）=g（x），
則g(x)=ex(-

1

3

x3+x2-6a)=e^x（x²-2ax-2a）．
即-

1

3

x³+x²-6a=x²-2ax-2a．
即

1

3

x³-2ax+4a=0，
設(shè)g（x）=

1

3

x³-2ax+4a，
則g′（x）=x²-2a，
若a≤0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，則g（x）=

1

3

x³-2ax+4a只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
若a＞0，由g′（x）=x²-2a=0，得x=±

2a

，
此時(shí)函數(shù)的極小值為g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

），
極大值為g（-

2a

）═a（4+

4 2a

3

），
∵a＞0，∴極大值為g（-

2a

）=a（4+

4 2a

3

）＞0，
①若極小值為g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

）＞0，即0＜a＜

9

2

，此時(shí)方程

1

3

x³-2ax+4a=0只有一個(gè)根，
即方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
②若極小值為g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

）=0，即a=

9

2

，此時(shí)方程

1

3

x³-2ax+4a=0有2個(gè)根，
即方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為2個(gè)．
③若極小值為g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

）＜0，即a＞

9

2

，此時(shí)方程

1

3

x³-2ax+4a=0有3個(gè)根，
即方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用函數(shù)極值符號(hào)判斷方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．