Question

已知函數(shù)f_a（x）=ln（1+ax）-x，（a＞0，x＞-

1

a

）的最大值可記為g（a）
（Ⅰ）求關(guān)于a的函數(shù)g（a）的解析式；
（Ⅱ）已知t∈N^*，當(dāng)a≥t時，g（a）≤2f_a（1）+lnt恒成立，求t的最小值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題,對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)法可得：當(dāng)x∈(-

1

a

，1-

1

a

)時，f′_a（x）＞0，f_a（x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1-

1

a

，+∞)時，f′_a（x）＜0，f_a（x）是減函數(shù)，故f_a（x）在x=1-

1

a

處取到最大值g（a），代入可得函數(shù)g（a）的解析式；
（Ⅱ）若當(dāng)a≥t時，g（a）≤2f_a（1）+lnt恒成立，即lnt≥lna+

1

a

-2ln(1+a)+1恒成立，記H(a)=lna+

1

a

-2ln(1+a)+1，利用導(dǎo)數(shù)法求了函數(shù)的最值，進而可得t的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f′a(x)=

a

1+ax

-1=

a-1-ax

1+ax

令f′_a（x）=0，得x=

a-1

a

=1-

1

a

當(dāng)x∈(-

1

a

，1-

1

a

)時，f′_a（x）＞0，f_a（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(1-

1

a

，+∞)時，f′_a（x）＜0，f_a（x）是減函數(shù)，
所以f_a（x）在x=1-

1

a

處取到最大值g（a），g(a)=ln[1+a(1-

1

a

)]-1+

1

a

=lna+

1

a

-1
（Ⅱ）當(dāng)a≥t時，g（a）≤2f_a（1）+lnt恒成立，
即lna+

1

a

-1≤2[ln(1+a)-1]+lnt恒成立
得：lnt≥lna+

1

a

-2ln(1+a)+1
記H(a)=lna+

1

a

-2ln(1+a)+1
因為H′(a)=

1

a

-

1

a2

-

2

1+a

=

-a2-1

a2(1+a)

＜0
所以，當(dāng)a≥t時，H（a）是減函數(shù)，
由題意得：lnt≥H（t），即lnt≥lnt+

1

t

-2ln(t+1)+1，
所以 

1

t

-2ln(t+1)+1≤0
由t∈N^*且

1

t

-2ln(t+1)+1為減函數(shù)，可得：
當(dāng)t=1時，1-2ln2+1=2（1-ln2）＞0不成立，
當(dāng)t=2時，

1

2

-2ln3+1=

3

2

-2ln3＜0成立，
所以，t的最小值為2．

點評：本題考查的知識點是對數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的最值，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．