斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為2，側(cè)棱AA1和底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，求全面積和體積.

 

答案：
解析：

解：由題意可知，這個(gè)斜三棱柱可以看作是將正三棱柱沿著側(cè)棱AA1正對(duì)著側(cè)面BCC1B1的方向推斜而成的，要求它的全面積，關(guān)鍵在于求側(cè)面C1B1BC的面積，根據(jù)直覺可以推斷側(cè)面C1B1BC是矩形，因此應(yīng)該先來證明側(cè)面C1B1BC是矩形.

作A1O⊥底面ABC于O，在底面上過O作OD⊥AC于點(diǎn)D，作OF⊥AB于點(diǎn)F，連結(jié)A1D、A1F，由AB⊥OF、AB⊥A1O，可得AB⊥面A1FO，∴AB⊥A1F.同理AC⊥A1D.

易證Rt△A1AD≌Rt△A1AF.

∴A1D=AD=AF=.

∴Rt△FAO≌Rt△DAO.因此∠BAO=∠CAO=30°，∴OD=，AO=2.

設(shè)AO的延長線交BC于點(diǎn)E，則BC⊥AE.

又∵BC⊥A1O，∴BC⊥面A1AO.∴BC⊥A1A.

又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，即側(cè)面C1B1BC是矩形.

在Rt△A1AO中，可得A1O==2.

∴S全=2×2×+2×2+2××22=4+6，V=×22×2=2.

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA1⊥AC1．
（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A1B-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面AA1C1C是面積為
3
2
的菱形，∠ACC1為銳角，側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求證：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求三棱錐A1-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，且BA1⊥AC1．
（1）求證：AC1⊥平面A1BC；
（2）求多面體B1C1ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影落在AC上，側(cè)棱AA1與底面ABC成60°角，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥AA1；
（2）如果二面角A1-BD-C1為直二面角，試求側(cè)棱CC1與側(cè)面A1ABB1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，BA1⊥AC1．
（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角B-A1E-C余弦值的大�。�

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