Question

19．已知函數(shù)f（x）=-2alnx+2（a+1）x-x²（a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）≥-x²+2ax+b恒成立，求實數(shù)a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出a的值即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）問題轉(zhuǎn)化為2alnx-2x+b≤0恒成立，令g（x）=2alnx-2x+b，（x＞0），求出g（x）的最大值，得到a+b≤3a-2alna，令h（x）=3x-2xlnx，（x＞0），求出h（x）的最大值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=-$\frac{2a}{x}$+2a+2-2x，
∴f′（2）=a-2=0，解得：a=2；
（2）f′（x）=$\frac{-2（x-a）（x-1）}{x}$，
①a=1時，f′（x）=-$\frac{{2（x-1）}^{2}}{x}$≤0，
∴f（x）在（0，+∞）遞減；
②0＜a＜1時，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，
∴f（x）在（a，1）遞增，在（0，a），（1，+∞）遞減；
③a＞1時，同理f（x）在（1，a）遞增，在（0，1），（a，+∞）遞減；
（3）∵f（x）≥-x²+2ax+b恒成立，
∴2alnx-2x+b≤0恒成立，
令g（x）=2alnx-2x+b，（x＞0），
g′（x）=$\frac{2（a-x）}{x}$，
∴g（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（a）=2alna-2a+b≤0，
∴b≤2a-2alna．∴a+b≤3a-2alna，
令h（x）=3x-2xlnx，（x＞0），h′（x）=1-2lnx，
∴h（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞增，在（$\sqrt{e}$，+∞）遞減，
h（x）_max=h（$\sqrt{e}$）=2$\sqrt{e}$，∴a+b≤2$\sqrt{e}$，
∴a+b的最大值是2$\sqrt{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．