Question

某學(xué)校要用鮮花布置花圃中ABCDE五個(gè)不同區(qū)域，要求同一區(qū)域上用同一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色的鮮花．現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、白、紫五種不同顏色的鮮花可供任意選擇．
（Ⅰ）當(dāng)A、D區(qū)域同時(shí)用紅色鮮花時(shí)，求布置花圃的不同方法的種數(shù)；
（Ⅱ）求恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率；
（Ⅲ）記ξ為花圃中用紅色鮮花布置的區(qū)域的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)A、D區(qū)域同時(shí)用紅色鮮花時(shí)，其它區(qū)域不能用紅色，即可求出答案．
（II）顏色相同的區(qū)域只可能是區(qū)域A、D和區(qū)域B、E，求出基本事件的總數(shù)和恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花所包含的基本事件的個(gè)數(shù)即可求得．
（III）花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)可能為0，1，2．求出相應(yīng)的概率即可求得分布列及期望．

解答：解：（I）當(dāng)A、D區(qū)域同時(shí)用紅色鮮花時(shí)，其它區(qū)域不能用紅色，
布置花圃的不同方法的種數(shù)4×3×3=36種．
（II）設(shè)M表示事件“恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花”，如圖：
當(dāng)區(qū)域A、D同色時(shí)，共有5×4×3×1×3=180種；
當(dāng)區(qū)域A、D不同色時(shí)，共有5×4×3×2×2=240種；
因此，所有基本事件總數(shù)為：180+240=420種
又因?yàn)锳、D為紅色時(shí)，共有4×3×3=36種；
B、E為紅色時(shí)，共有4×3×3=36種；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72種
所以，恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率P（M）=

72

420

=

6

35

．
（III）由題意可得：隨機(jī)變量ξ的取值分別為0，1，2．
則當(dāng)ξ=0時(shí)，用黃、藍(lán)、白、橙四種顏色來(lái)涂色，
若A、D為同色時(shí)，共有4×3×2×1×2=48種；
若A、D為不同色時(shí)，共有4×3×2×1×1=24種；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72種，
所以P（ξ=0）=

72

420

=

6

35

；
由第（2）可得P（ξ=2）=

6

35

；
所以P（ξ=1）=1-

6

35

-

6

35

=

23

35

．
從而隨機(jī)變量X的分布列為

ξ	0	1	2
P	6 35	23 35	6 35

∴E（ξ）=0×

6

35

+1×

23

35

+2×

6

35

=1．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的根據(jù)是熟練利用排列與組合的知識(shí)對(duì)區(qū)域進(jìn)行涂色，以及掌握等可能事件概率的計(jì)算公式與離散型隨機(jī)變量的期望與方差．