Question

已知存在實(shí)數(shù)ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，且在（0，）上是增函數(shù)．
（1）試用觀察法猜出兩組ω與φ的值，并驗(yàn)證其符合題意；
（2）求出所有符合題意的ω與φ的值．

Answer 1

解：（1）猜想：或；（4）分
由知，而f（x）=2sinx為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)． （6分）
由知，而f（x）=2sin2x為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)． （8分）

（2）由f（x）為奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得?=kπ+，k∈Z． （10分）
當(dāng)k=2n（n∈Z）時(shí)，為奇函數(shù)，
由于f（x）在上是增函數(shù)，
所以ω＜0，由-，
又f（x）在上是增函數(shù)，故有，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故． （12分）
當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時(shí)，為奇函數(shù)，
由于f（x）在上是增函數(shù)，
所以ω＞0，由-，
又f（x）在上是增函數(shù)，故有，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故（14分）
所以所有符合題意的ω與φ的值為：
或（16分）
分析：（1）由題意使得函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，且在（0，）上是增函數(shù)．猜想或；然后驗(yàn)證即可．
（2）由f（x）為奇函數(shù)，解得當(dāng)k=2n（n∈Z）時(shí)，為奇函數(shù)，由于f（x）在上是增函數(shù)，所以ω＜0，推出ω=-1或-2，． 當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時(shí)，為奇函數(shù)，由于f（x）在上是增函數(shù)，所以ω＞0，推出ω=1或2，故
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，邏輯推理能力，考查計(jì)算能力，有一定的難度．