Question

9．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的、左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，M（1，4），點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為△MAB的邊MA，MB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在第一象限內(nèi)，線段MN的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則|AN|-|BN|的值為16．

Answer 1

分析 連接PF₁，PF₂，運(yùn)用雙曲線的定義和三角形的中位線定理，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1中，a=4，
連接PF₁，PF₂，
由PF₁是△MAN的中位線，
可得|AN|=2|PF₁|，
由PF₂是△MBN的中位線，
可得|BN|=2|PF₂|，
由雙曲線的定義可得：
|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
則|AN|-|BN|=2（|PF₁|-|PF₂|）=2×8=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程的運(yùn)用，考查三角形的中位線定理的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．