Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+3{x}^{2}，0≤x＜k}\\{lo{g}_{2}x+1，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{2}．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）中兩個(gè)函數(shù)解析式對稱的圖象，然后求出能使函數(shù)值為2的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+3{x}^{2}，0≤x＜k}\\{lo{g}_{2}x+1，k≤x≤a}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

∴函數(shù)f（x）在[0，k）上為增函數(shù)，在[k，a]也為增函數(shù)，
由于當(dāng)x=1時(shí)，-x³+3x²=2，
當(dāng)x=2時(shí)，log₂x+1=2，
故若存在k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，
則a∈{2}，
故答案為：{2}．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．