Question

8．各個棱長均為a的三棱錐的外接球的表面積為$\frac{3}{2}{a^2}π$．

Answer 1

分析 由正三棱錐S-ABC的所有棱長均為a，所以此三棱錐一定可以放在棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入體積公式計算．

解答 解：∵正三棱錐的所有棱長均為a，
∴此三棱錐一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此三棱錐．
∴正方體的棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑為正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
∴球的表面積=4πR²=$\frac{3}{2}{a^2}π$．
故答案為：$\frac{3}{2}{a^2}π$．

點(diǎn)評 本題考查幾何體的接體問題，考查了空間想象能力，其解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出接體幾何元素的數(shù)據(jù)，代入體積公式分別求解．