Question

18．直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（sinθ+cosθ），直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出圓C和直線l的普通方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P為圓C上動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（sinθ+cosθ），即ρ²=2ρ（sinθ+cosθ），利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得直角坐標(biāo)方程．由直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（Ⅱ）由圓的幾何性質(zhì)知點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為圓心C到直線l的距離減去圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離為d，進(jìn)而得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（sinθ+cosθ），即ρ²=2ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2y+2x，
即圓C的普通方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
由直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得普通方程：x-y=3，∴直線l的普通方程為x-y-3=0．
（Ⅱ）由圓的幾何性質(zhì)知點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為圓心C到直線l的距離減去圓的半徑，
令圓心C到直線l的距離為d，則d=$\frac{|-1+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$＞\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．