Question

在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，O是△ABC的內(nèi)心，在△ABC內(nèi)隨機(jī)任取一點(diǎn)P，則取到滿足條件

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1）時(shí)的點(diǎn)P的概率為（　�。�

• A、

  5

  9

• B、

  5

  18

• C、

  6

  18

• D、

  6

  9

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)條件

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1），確定P對(duì)應(yīng)的區(qū)域，利用幾何槪型求出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1），
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形ADBO的內(nèi)部（含邊界），
∵AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，
BC²=AC²+AB²-2AB×AC×cosA
∴49=36+AB²-2×6×AB×

1

5

，
∴5AB²-12AB-65=0，
解得：AB=5，sinA=

1-cos2A

=

2 6

5

，
∴S_△ABC=

1

2

×6×5×

2 6

5

=6

6

，
設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，則

1

2

×(5+6+7)r=6

6

，
∴r=

2 6

3

∴S_△AOB=

1

2

×AB×r=

1

2

×5×

2 6

3

=

5 6

3

，
∴滿足條件

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1）時(shí)的點(diǎn)P的概率P=

S△AOB

S△ABC

=

5 6 3

6 6

=

5

18

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何槪型的概率的計(jì)算，利用向量數(shù)量積的意義，確定P的軌跡是解決本題的關(guān)鍵．