Question

1．在平面直角坐標系xOy中，直線L與拋物線y²=4x相交于不同的A、B兩點．且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4．
（1）證明直線L必過一定點，并求出該定點．
（2）求線段AB的中點P的軌跡方程．
（3）求三角形AOB面積最小時，直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于-4，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．
（2）假設線段中點坐標，利用中點坐標公式，尋找坐標之間的關系即可求得．
（3）求出AB，原點到直線l的距離，可得面積，即可求出三角形AOB面積最小時，直線AB的方程．

解答 （1）證明：設l：x=ty+b，代入拋物線方程y²=4x中得，y²-4ty-4b=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，…（2分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（t{y_1}+1）（t{y_2}+1）+{y_1}{y_2}$
=${t^2}{y_1}{y_2}+t（{y_1}+{y_2}）++{y_1}{y_2}=-4b{t^2}+4b{t^2}+{b^2}-4b={b^2}-4b$，
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，b=2，
∴直線l過定點（2，0），∴若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，則直線l必過一定點…（5分）
（2）解：設P（x，y）由（1）得：y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4bb=2
得x₁+x₂=4t²+4，∴x=2t²+2，y=2t 
消去t得P點的軌跡方程為：y²=2x-2…（8分）
（3）解：AB=$4\sqrt{{k^2}+2}\sqrt{1+{k^2}}$，原點到直線l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$（式子中k為t）
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|AB|×d=4\sqrt{{k^2}+2}≥4\sqrt{2}$
當k=0時，三角形AOB面的最小，最小值是$4\sqrt{2}$…（12分）．

點評 本題主要考查向量的數量積的運算，考查軌跡方程的求解，利用了代入法，屬于中檔題．