Question

如圖，在△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心為
H且

CD

=9

CH

．
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-1，0），Q（1，0），那么

1

|HP|

，

1

|PQ|

，

1

|QH|

能否成等差數(shù)列？請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)直線AH，BH與直線l：x=9分別交于M，N點(diǎn)，請問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由題意得H（x，

8

9

y），則

AC

=(x+3，y)，

BH

=(x-3，

8

9

y)，由于AC⊥BH，于是

AC

•

BH

=x2-9+

8

9

y2=0，又y=0時(shí)

AC

，

BH

共線，不合題意．故點(diǎn)C的軌跡方程為x2+

8

9

y2=9（y≠0）．由此能得到得到點(diǎn)H的軌跡方程為

x2

9

+

y2

8

=1，(y≠0)．
（Ⅱ）設(shè)H(3cosα，2

2

sinα) ，α∈(0，π)∪(π，2π)，則

PH

=(3cosα+1，2

2

sinα)，

QH

=(3cosα-1，2

2

sinα)，由此能得到

1

|HP|

，

1

|PQ|

，

1

|QH|

不能構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅲ）設(shè)M（9，m），N（9，n），則A（-3，0），B（3，0），于是

AM

=(12，m)，

AH

=(3cosα+3，2

2

sinα)，由A，H，M三點(diǎn)共線得m=

8 2 sinα

cosα+1

．由B，H，N三點(diǎn)共線得n=

4 2 sinα

cosα-1

，又M(9，

8 2 sinα

cosα+1

) ，N(9，

4 2 sinα

cosα-1

)，以MN為直徑的圓的方程為(x-9)2+y2-(

8 2 sinα

cosα+1

+

4 2 sinα

cosα-1

) y-64=0，由此能得以MN為直徑的圓必過橢圓外定點(diǎn)（17，0）．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由題意得H（x，

8

9

y），
則

AC

=(x+3，y)，

BH

=(x-3，

8

9

y)，由于AC⊥BH，
于是

AC

•

BH

=x2-9+

8

9

y2=0，
又y=0時(shí)

AC

，

BH

共線，不合題意．故點(diǎn)C的軌跡方程為x2+

8

9

y2=9（y≠0）．
設(shè)點(diǎn)H（x，y），C（x₀，y₀），則x02+

8

9

y02=9（y₀≠0），
由

x=x0 y= 8 9 y0

得到點(diǎn)H的軌跡方程為

x2

9

+

y2

8

=1，(y≠0)．（4分）
（Ⅱ）設(shè)H(3cosα，2

2

sinα) ，α∈(0，π)∪(π，2π)，則

PH

=(3cosα+1，2

2

sinα)，

QH

=(3cosα-1，2

2

sinα)，
故

1

| PH |

+

1

| QH |

=

1

3+cosα

+

1

3-cosα

=

6

9-cos2α

＜

6

8

=

3

4

＜1=

2

|PQ|

，
所以

1

|HP|

，

1

|PQ|

，

1

|QH|

不能構(gòu)成等差數(shù)列．（9分）
（Ⅲ）設(shè)M（9，m），N（9，n），則A（-3，0），B（3，0），
于是

AM

=(12，m)，

AH

=(3cosα+3，2

2

sinα)
由A，H，M三點(diǎn)共線得12×2

2

sinα-m(3cosα+3)=0，∴m=

8 2 sinα

cosα+1

；
由B，H，N三點(diǎn)共線得n=

4 2 sinα

cosα-1

，又M(9，

8 2 sinα

cosα+1

) ，N(9，

4 2 sinα

cosα-1

)，以MN為直徑的圓的方程為(x-9)2+y2-(

8 2 sinα

cosα+1

+

4 2 sinα

cosα-1

) y-64=0
解得

x=1 y=0

（舍）或

x=17 y=0

．故以MN為直徑的圓必過橢圓外定點(diǎn)（17，0）．（15分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．