Question

6．在平面直角坐標系中，給定點P（m，n），其中$m={log_3}27，n=2lg\sqrt{10}$，
（1）求過P且與直線2x+y-5=0垂直的直線l₁的方程；
（2）若直線l₂平行于過點A（m-2，n-2）和B（0，2）的直線，且這兩條直線間的距離為$\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由m=log₃27=3，n=2$lg\sqrt{10}$=1．可得P（3，1）．設(shè)直線l₁的方程為：x-2y+a=0，由l₁過點P（3，1），代入解出a即可得出．
（2）由已知A（1，-1）和B（0，2），可得k_AB=-3．可得直線AB的方程為：y=-3x+2，設(shè)直線l₂：3x+y+b=0，可得兩平行線l₂與AB的距離d=$\frac{|b+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2}{\sqrt{17}}$，解出b即可得出．

解答 解：（1）由m=log₃27=3，n=2$lg\sqrt{10}$=1．
∴P（3，1）．
設(shè)直線l₁的方程為：x-2y+a=0，由l₁過點P（3，1）．
解得：a=-1，故直線l₁的方程為：x-2y-1=0．
（2）由已知A（1，-1）和B（0，2），∴k_AB=$\frac{-1-2}{1-0}$=-3．
故直線AB的方程為：y=-3x+2，即：3x+y-2=0，
設(shè)直線l₂：3x+y+b=0，
兩平行線l₂與AB的距離d=$\frac{|b+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2}{\sqrt{17}}$，
解得：b=-2±$\frac{2\sqrt{170}}{17}$．
故直線l₂的方程為：3x+y-2±$\frac{2\sqrt{170}}{17}$=0．

點評 本題考查了相互垂直與平行的直線斜率之間的關(guān)系、平行線之間的距離，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．