【題目】已知橢圓：的離心率為.點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，，的面積為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，證明：的面積是定值，并求此定值.

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；定值為

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，，的面積為，得到求解.

（2）分直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線：（且），直接求得M，N的坐標(biāo)求解.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，直線：，與聯(lián)立，得到m，k的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式求得，以及原點(diǎn)到直線的距離，代入求解.

（1）由已知得，∴，

又，∴，∴橢圓：.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線：（且），代入，得，

則，∴，則，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，直線：，代入，

得，∴，

，，，

∴，滿足，

，

又原點(diǎn)到直線的距離，

∴，為定值.

綜上，的面積為定值，定值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省的一個(gè)氣象站觀測(cè)點(diǎn)在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見(jiàn)度y（單位：cm）的情況如下表：

M

900

700

300

100

y

0.5

3.5

6.5

9.5

該省某市2019年12月份AQI指數(shù)M的頻數(shù)分布表如下：

M

頻數(shù)

3

6

12

6

3

（1）設(shè)，若x與y之間具有線性關(guān)系，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）王先生在該市開(kāi)了一家洗車(chē)店，洗車(chē)店每天的平均收入與AQI指數(shù)的相關(guān)關(guān)系如下表：

M

日均收入（元）

-2000

-1000

2000

6000

8000

估計(jì)王先生的洗車(chē)店2019年12月份每天的平均收入．

附參考公式：，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校高三（1）班在一次語(yǔ)文測(cè)試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較為嚴(yán)重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時(shí)間站起來(lái)大聲誦讀，為了解同學(xué)們對(duì)站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度，對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成下表：

考試分?jǐn)?shù)

頻數(shù)

5

10

15

5

10

5

贊成人數(shù)

4

6

9

3

6

4

（1）欲使測(cè)試優(yōu)秀率為30%，則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少分？

（2）依據(jù)第1問(wèn)的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度與考試成績(jī)是否優(yōu)秀的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系.

參考公式及數(shù)據(jù)：，.

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a2＋b)x＋aln x(a，b∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)b＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)a＝－1，b＝0時(shí)，證明：f(x)＋ex>－x2－x＋1(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，底面，，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程(為參數(shù)).

（1）求曲線在直角坐標(biāo)系中的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)曲線截直線所得線段的中點(diǎn)極坐標(biāo)為時(shí)，求直線的傾斜角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）試求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

①求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

②過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明其軌跡是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線C1是以C1（4，0）為圓心的半圓，曲線C2是以為圓心的圓，曲線C1、C2都過(guò)極點(diǎn)O．

（1）分別寫(xiě)出半圓C1，C2的極坐標(biāo)方程；

（2）直線l：與曲線C1，C2分別交于M、N兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)O），P為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求△PMN面積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案