【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)試求拋物線的方程;

(2)已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上,是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.

①求證:直線恒過定點(diǎn);

②過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn),試求點(diǎn)的軌跡方程,并說明其軌跡是何種曲線.

【答案】(1);(2)①證明見解析;②,是以為直徑的圓(除去點(diǎn).

【解析】

1)設(shè)AxAyA),BxB,yB),由|OA|=|OB|,可得2pxA2pxB,化簡可得:點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對稱.因此ABx軸,且∠AOx=30°.可得yA=2p,再利用等邊三角形的面積計算公式即可得出;

2)①由題意可設(shè)直線PQ的方程為:xmy+aPx1,y1),Qx2,y2).與拋物線方程聯(lián)立化為:y2mya=0,利用∠PMQ=90°,可得0利用根與系數(shù)的關(guān)系可得m,或m),進(jìn)而得出結(jié)論;

設(shè)Nxy),根據(jù)MNNH,可得0,即可得出.

(1)解依題意,設(shè),,

則由,得

,

因為,,所以,

,,

,關(guān)于軸對稱,

所以軸,且,

所以.

因為,所以,

所以,

,

故拋物線的方程為.

(2)①證明 由題意可設(shè)直線的方程為,

,

,消去,得

,,.

因為,所以.

.

整理得,

,

所以.

當(dāng),即時,

直線的方程為,

過定點(diǎn),不合題意舍去.

故直線恒過定點(diǎn).

②解 設(shè),則,即

,

即軌跡是以為直徑的圓(除去點(diǎn)).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)有一張半徑為的圓形鐵皮,從中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖陰影部分),并卷成一個深度為的圓錐筒,如圖.

1)若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為,求圓錐筒的容積;

2)當(dāng)為多少時,圓錐筒的容積最大?并求出容積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下所示:

積極參加班級工作

不太主動參加班級工作

合計

學(xué)習(xí)積極性高

18

7

25

學(xué)習(xí)積極性一般

6

19

25

合計

24

26

50

1)如果隨機(jī)抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?

2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗的思想方法有多大把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對班級工作的態(tài)度有關(guān)系?并說明理由.

本題參考數(shù)據(jù):

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

1)求的值;

2)填寫下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?

文科生

理科生

合計

獲獎

6

不獲獎

合計

400

3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:,其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,棱錐的地面是矩形, 平面,,.

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的大小;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從某校高三年級中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,對其高校招生體檢表中的視圖情況進(jìn)行統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知從這100人中隨機(jī)抽取1人,其視力在的概率為.

(1)求的值;

(2)若某大學(xué)專業(yè)的報考要求之一是視力在0.9以上,則對這100人中能報考專業(yè)的學(xué)生采用按視力分層抽樣的方法抽取8人,調(diào)查他們對專業(yè)的了解程度,現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行是否有意向報考該大學(xué)專業(yè)的調(diào)查,記抽到的學(xué)生中視力在的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列四個命題,其中正確的是(

A.對分類變量的隨機(jī)變量的觀測值來說,越小,有關(guān)系可信程度越大

B.殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi),帶狀區(qū)域越窄,則模型擬合精度越高

C.相關(guān)指數(shù)越小,則殘差平方和越大,模型的擬合效果越好

D.兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)的最大值;

2)若存在正實數(shù)對,使得當(dāng)時,能成立,求實數(shù)的取值范圍.

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