Question

3．已知圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線l與圓C相交；
（2）計算直線l被圓C截得的最短的弦長．

Answer 1

分析 （1）直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，顯然過直線2x+y-7=0 及直線x+y-4=0的交點A，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得交點A的坐標．
（2）把 圓C的方程化為標準形式，求出圓心C的坐標和半徑，要使直線L被圓C截得的線段長度最小，需心C到直線L的距離d最大，d的最大為CA線段的長度，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，顯然過直線2x+y-7=0 及直線x+y-4=0的交點A．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得交點A的坐標為（3，1），
故直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0經(jīng)過定點A（3，1）．
（2）解：圓C：x²+y²-2x-4y-20=0 即 （x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）為圓心，以5為半徑的圓．
設圓心C到直線L的距離為d，要使直線L被圓C截得的線段長度最小，需d最大．由題意可知，d的最大為CA線段的長度．
由兩點間的距離公式可得CA=$\sqrt{5}$．
∴直線l被圓C截得的最短的弦長為2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查直線過定點問題，直線和圓的位置關(guān)系的應用，判斷圓心C到直線L的距離d的最大為CA線段的長度，是解題的關(guān)鍵．